软间隔线性支持向量机的本质---优化目标

从上一次我们讲到支持向量机，我们主要讨论了线性可分支持向量机，那这篇我们就接着上文的内容，聊一聊线性支持向量机，即软间隔支持向量机 的本质是什么。

起源

在很多实际问题中，线性可分支持向量机往往很难使用，这是因为实际数据常常是噪声很大的，也就是说，数据点不可避免地存在一定的离散性。对于线性可分支持向量机来说，一个点被错误分类，整个分类平面就需要发生改变。

为了解决这个问题，就提出了软间隔支持向量机，它允许一些点可以不满足约束，即允许一些点可以被错误分类。这样一来，分类面就不会对单个点过于敏感，提高了泛化能力。

数学形式

我们先来看看软间隔支持向量机的数学形式：

其中：

• w 为权重向量
• b 为偏置项
• \xi_i 为松弛变量
• C 为惩罚参数

约束条件：

• y_i 为第 i 个样本的标签
• x_i 为第 i 个样本的特征

与线性可分支持向量机相比，软间隔支持向量机多了两个部分：松弛变量 \xi_i 和惩罚参数 C。

本质

我们从优化目标和约束条件来理解软间隔支持向量机的本质：

• 优化目标： 第一项是正则化项，目的是防止过拟合；第二项是松弛项，目的是允许一些点可以被错误分类。惩罚参数 C 控制了这两项之间的权衡。
• 约束条件： 约束条件保证了大多数点都被正确分类，并且错误分类的点尽可能少。

因此，软间隔支持向量机的本质就是在正则化和松弛之间进行权衡，以找到一个既能防止过拟合，又能正确分类大多数点的分类面 。

通俗理解

我们可以用一个通俗的比喻来理解软间隔支持向量机：

假设我们在玩飞镖游戏，目标是尽可能多地命中靶心。线性可分支持向量机就像是一个非常严格的裁判，不允许任何飞镖射偏。而软间隔支持向量机就像是一个比较宽容的裁判，允许一些飞镖射偏，但前提是不能太多。

惩罚参数 C 就相当于裁判的宽容程度，它控制了允许射偏的飞镖数量。如果 C 很大，那么裁判非常严格，只允许很少的飞镖射偏；如果 C 很小，那么裁判比较宽容，允许更多的飞镖射偏。

通过调整 C 的值，我们可以找到一个合适的宽容度，既能保证大部分飞镖命中靶心，又能避免过分惩罚射偏的飞镖。

结语

软间隔支持向量机是支持向量机的重要拓展，它允许数据点存在一定的离散性，从而提高了分类器的泛化能力。通过理解软间隔支持向量机的数学形式和本质，我们可以更好地使用它来解决实际问题。