Swift算法俱乐部：最小生成树（加权图）

导言

在计算机科学中，最小生成树 (MST) 对于解决各种优化问题至关重要。对于给定的加权图，MST 是图的边子集，它以最小的总权重将所有顶点连接起来，且不形成任何回路。

算法

计算 MST 的两种最常用的算法是：

• Kruskal 算法： 根据边的权重将边排序并按序添加边，直到所有顶点都连接起来。
• Prim 算法： 从一个顶点开始，逐步添加权重最小的边，直到所有顶点都连接起来。

这两种算法的时间复杂度都是 O(E log E)，其中 E 是图中的边数。

应用

MST 在实际应用中非常有用，例如：

• 网络优化： 设计具有最小总带宽或延迟的网络。
• 线路规划： 规划一条连接一组城市或地点的道路或管道网络，使其总距离最短。
• 图像分割： 将图像分解成具有相同像素强度的连通区域。

Swift 实现

以下是在 Swift 中实现 Kruskal 算法的示例代码：

import Foundation

struct Edge: Comparable {
    let source: Int
    let destination: Int
    let weight: Double

    static func <(lhs: Edge, rhs: Edge) -> Bool {
        return lhs.weight < rhs.weight
    }
}

func kruskalMST(graph: [Int: [Edge]]) -> [Edge] {
    var edges: [Edge] = []

    // Create a disjoint set union (DSU) data structure.
    var dsu = DSU()

    // Add all vertices to the DSU.
    for vertex in graph.keys {
        dsu.makeSet(vertex)
    }

    // Sort the edges by weight.
    edges.sort()

    // Iterate over the edges.
    for edge in edges {
        // If the vertices of the edge are not in the same set in the DSU, then add the edge to the MST.
        if !dsu.isSameSet(edge.source, edge.destination) {
            dsu.union(edge.source, edge.destination)
            mst.append(edge)
        }
    }

    return mst
}

// Disjoint set union (DSU) data structure.
class DSU {
    var parent: [Int: Int] = [:]
    var rank: [Int: Int] = [:]

    func makeSet(_ vertex: Int) {
        parent[vertex] = vertex
        rank[vertex] = 0
    }

    func findSet(_ vertex: Int) -> Int {
        if parent[vertex] == vertex {
            return vertex
        }

        return findSet(parent[vertex]!)
    }

    func union(_ vertex1: Int, _ vertex2: Int) {
        let parent1 = findSet(vertex1)
        let parent2 = findSet(vertex2)

        if parent1 != parent2 {
            if rank[parent1]! > rank[parent2]! {
                parent[parent2] = parent1
            } else if rank[parent1]! < rank[parent2]! {
                parent[parent1] = parent2
            } else {
                parent[parent2] = parent1
                rank[parent1]! += 1
            }
        }
    }

    func isSameSet(_ vertex1: Int, _ vertex2: Int) -> Bool {
        return findSet(vertex1) == findSet(vertex2)
    }
}

结语

MST 是图论中的重要概念，在许多实际应用中都有着广泛的应用。了解 MST 的算法和实现对于解决各种优化问题非常有价值。

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